перебирая-переберут

В корнях с чередующимися гласными е-и (бер- - бир- ) буква (и) пишется только тогда, когда после корня следует суффикс -а-,

перебирая (чередование "бир"-"бер", гласных "и" и "е")

гласная "и" пишется в случае, если после корня имеется суффикс "а", что и происходит в случае "перебирая".

Пример с корнем "бер": соберёт, с корнем "бир": "собирать"