Чтобы доказать правописание буквы Е в слове старушечий, нужно подобрать к нему проверочное слово. То есть, чтобы буква е была под ударением.
старушечий  -старушЕнция 

Старушек - старушка. Если беглая гласная в суффиксе, то это О или Е. (если гласная не убегает, то это И или Ы).
Поэтому Старушечий.  
 
А вовсе не старушенция  )