С именем - существительное, т. к. :
1. обозначает предмет (с чем? )
2. Начальная форма: имя (им. п. ед. ч. )
3. Постоянные признаки: нарицательное, неодушевленное, II склонения, среднего рода.
4. Непостоянные признаки: в ед. ч. в тв. п.
5. в предложении является дополнением (-) 

(С) именем-сущ.
1. (с чем? ) с именем.
Н. Ф. имя.
2. П. п-нариц. неодуш. с. р. 2-е. скл. ; Н. п-Творит. подеж. ед. ч.
3. (с чем? ) с именем(дополнение).
 
Мамы(подлеж. сущ. ) получат(сказуемое, гл. ) их(мест. ), улыбнутся(сказуемое, гл. ), и сразу(-) повсюду(наречие) наступит(сказуемое, гл. ) лето(подлеж. сущ. ). (повеств. не воскл. сложное, распр. ослож. однород. чл. )
желаю удачи! ))