Появилась-сказуемое

Дождь- второе подлежащее

Прошел-второе сказуемое

после того как-это все обстоятельство.

Это сложное предложение, т. к. тут две грмматические основы. 

Радуга-подлежащее, выраженное сущ.

Появилась-сказуемое, выраженное глаголом

радуга появилась- первая грамматическая основа

Дождь-подлежащее, выраженное сущ.

прошел-сказуемое, выраженное глаголом

Дождь прошел-вторая грамматическая основа

после того как-обстоятельство

это сложное предложение