Казак на север держит путь, казак не (отрицание) хочет отдохнуть ни в чистом поле, ни в дубраве, ни при опасной переправе. (ни-ни-ни -повторяющийся союз).
В лесу я был не (отрицание) один. НИ (усиление отрицания при частице НЕ) один из экскурсантов не (отрицание) опоздал к поезду.

 Решение:
  Казак на север держит путь, казак не хочет отдохнуть ни в чистом поле, ни в дубраве, ни при опасной переправе.
Коментарий: в первом выборе не, так как частица показывает действие отрицания, в последующих случаях пишется ни-ни-ни, потому что происходит повторение частиц из-за однородных существительных).
  В лесу я был не один. Ни один из экскурсантов не опоздал к поезду.
Коментарий: в первом предложении пишем не, обратно же отрицание. Во втором-в первом случае ни, которое усиливает последующее отрицание не.