Я - подлежащее, выражено местоимением.

Стал читателем - составное именное сказуемое, выражено: (стал - глагол-связка, читателем - существительное)

Книг - дополнение, выражено существительным, его - определение, выражено притяж. мест.; с того вечера - обстоятельство (времени), выражено: (с вечера - сущ. с предлогом, того - указат. мест.). Дорого - сказуемое, выражено категорией состояния, бесконечно - обстоятельство, выражено наречием, мне - дополнение, выражено местоим. Я - подлежащее, выражено местоимением, обязан - сказуемое, выражено кратким причастием, этим - дополнение, выражено мест., Пушкину - дополнение, выражено сущ. (именем собств.). Что - подчинит. союз.

Синтаксический разбор: 1. Предложение сложное с разными видами связи (сочинительной - союз "и" и подчинительной - союз "что"); первая часть - двусоставное предложение, вторая часть -  односоставное предложение (мне дорого), третья часть - двусоставное.2 повествовательное 3. невосклицательное, 4. распространенное.

(Повеств, невоскл, распростр, сложное, однородных нет, обращений нет.)