Грамматическая основа: стрижи - подлежащее, выражено существ.; хватали, мчались - сказуемые, выражены глаголами.

Стрижи - сущ. в им. п., с криком - сущ. в тв. п., в воздухе - сущ. в пр. п., насекомых -  сущ. в р. п., к птенцам - сущ. в д. п.

Словосочетания:

Ловкие стрижи, с весёлым криком, хватали с криком, хватали в воздухе, хватали насекомых, стремительно мчались, мчались к птенцам. 

1) Стрижки мчались

2)  стрижки - и. п.

криком - т. п.

воздухе - п. п

насекомых - р. п.

птенцам - д. п.

3) Ловкие стрижки

с весёлым криком

хватали с  криком

хватали  насекомых

хватали в воздухе

стремительно мчались

мчались к птенцам